Momento d’inerzia: definizioni ed equazioni

Il termine “momento d’inerzia” viene spesso usato con significato generico ma, a seconda del contesto, può indicare tre diversi momenti d’inerzia, ovvero di massa, planare o polare. Per sapere quale di questi valori è necessario per un determinato calcolo o analisi, è importante capire in cosa si differenziano e la relazione che ognuno di essi ha con il comportamento di un oggetto.

Momento d’inerzia di massa

Il momento d’inerzia di massa descrive la capacità di un oggetto di resistere all’accelerazione angolare, la quale dipende da come la massa dell’oggetto è distribuita rispetto all’asse di rotazione (ovvero la forma dell’oggetto). Il momento d’inerzia di massa è in genere indicato con il simbolo “I”, sebbene in campo tecnico si utilizzi comunemente il simbolo “J”, ad esempio nelle specifiche dell’inerzia di motori e riduttori. L’unità è la massa per la distanza al quadrato: kg m² o lbm-ft² (si noti che talvolta si utilizza anche slug-ft²).

In molte applicazioni, un oggetto è costituito da un centro di massa e il momento d’inerzia di massa è semplicemente la massa di tale oggetto moltiplicata per il raggio (distanza rispetto all’asse di rotazione) al quadrato.

Il momento d’inerzia di massa è importante per il dimensionamento dei motori, in cui il rapporto d’inerzia (rapporto fra inerzia del carico e inerzia del motore) gioca un ruolo importante nel determinare se il motore sarà in grado di controllare efficacemente l’accelerazione e la decelerazione del carico.

Momenti d’inerzia planare e polare

I momenti d’inerzia planare e polare rientrano entrambi nel cosiddetto “secondo momento d’inerzia”. Il momento d’inerzia planare descrive la modalità di distribuzione di un’area rispetto a un asse di riferimento (in genere l’asse baricentrale o centrale). Questo elemento è importante perché identifica la resistenza dell’area alla piegatura.

L’equazione per il momento d’inerzia planare utilizza il secondo integrale della distanza rispetto al piano di riferimento e lo moltiplica per l’elemento differenziale di area. Il risultato è espresso in unità di lunghezza alla quarta potenza: m⁴ o in⁴.

Il momento d’inerzia polare è analogo a quello planare ma è applicabile a oggetti cilindrici e descrive la loro resistenza alla torsione (generata da una coppia applicata).

L’equazione per il momento d’inerzia polare è essenzialmente la stessa del momento d’inerzia planare, ma per quello polare la distanza è misurata rispetto a un asse parallelo alla sezione trasversale di area. Il momento d’inerzia polare è talvolta indicato con la lettera J, invece del simbolo I, ma le unità sono le medesime di quelle indicate per il momento d’inerzia planare: m4 o in⁴.

Il momento d’inerzia polare (indicato qui come Iᵖ) può essere calcolato anche sommando i momenti d’inerzia planari x e y (Iˣ e Iʸ).

I momenti d’inerzia planare e polare si utilizzano per il calcolo della flessione, sia lo spostamento lineare dovuto a una forza applicata che quello angolare derivante da un momento applicato.